גאונים בלבד. - חידות הגיון ומשחקים - פורום סטודנטים של אוניברסיטת בן-גוריון

מעבר לתוכן


- - - - -

גאונים בלבד.


  • Please log in to reply
18 replies to this topic

#1 אורח - חידה מתמטית

אורח - חידה מתמטית
  • אורחים

פורסם 10/03/2005 - 09:49

שלושה חברים נכנסים לקזינו ומשחקים ב"משחק הכובעים", לפיו כל פעם יניח הדילר כובע בצבע כחול או אדום על ראשי שלושת השחקנים מבלי שיוכלו לראות את הכובע שעל ראשם - אלא רק את כובעי חבריהם. בכל פעם עליהם לנחש את צבע כובעם או לוותר על התור, מבלי להתייעץ או לשוחח עם חבריהם.



מספיק שאחד מן השלושה יפתור נכונה כדי שכולם יזכו - בתנאי שאף אחד לא טעה. מטרת החידה היא למצוא אסטרטגיה למשחק, כדי שהשחקנים יוכלו להרוויח 75 אחוז מהפעמים. שאלה נוספת: האם ניתן לתכנן אסטרטגיה אפילו רווחית עוד יותר, על שימוש ביותר אנשים? ואם כן, לכמה אנשים נזדקק?

#2 erezeis

erezeis

    כסף

  • רשומים+
  • 5835 הודעות:

פורסם 10/03/2005 - 12:27

אכפת לך אם אעביר את ההודעה שלך לפורום "חידות"? :הממ:

#3 asili

asili

    לא סתם ברונזה - רשום+!

  • רשומים+
  • 459 הודעות:

פורסם 10/03/2005 - 14:20

אין בעיה..
אם תוכל להשאיר אותה בפורום מתמטיקה וגם להעבירה לפורום חידות
תודה
:)

#4 אורח - משה

אורח - משה
  • אורחים

פורסם 11/03/2005 - 10:15

התשובה כדלקמן:


אם אחד מהחברים רואה שלשני חבריו האחרים כובע בצבע זהה עליו לנחש כי כובעו בצבע שונה. אחרת יוותר.

באסטרטגיה כזו בהסתברות 6/8 ינחשו נכונה. כיוון שאפריורית ההסתברות למצב שני כחולים ואדום הינו 3/8 וההסתברות לשני אדומים וכחול הינה 3/8. ביחד מדובר בהסתברות של 6/8.

לגבי החלק השני של החידה לא ניתן להציג אסטרטגיה רווחית יותר משום שמדובר בסדרה יורדת ככל שמספר השחקנים גדול יותר ההסתברות נמוכה יותר. הסדרה הינה: n/2^n-1

הסדרה מקבלת ערך מקסימלי עבור n=3. עבור מספר שחקנים גדול או שווה לשלוש.

#5 אורח - Guest

אורח - Guest
  • אורחים

פורסם 11/03/2005 - 13:08

שכחת משהו בחידה.

הדילר בוחר את הכובעים אקראית

#6 alpha

alpha

    משתמש טרי

  • רשומים
  • 15 הודעות:

פורסם 12/03/2005 - 16:50

א' רואה את צבע הכובעים של ב' וג'
אם צבעיהם זהה --> הוא אומר את הצבע
ואז ב' ו-ג' יודעים את צבעי כובעיהם
אם צבעיהם שונה --> הוא מוותר על התור
התור של ב': ב' יודע כי צבע כובעו שונה מצבע כובעו של ג',
ב' מסתכל על צבעו של ג' ואומר את הצבע ההופכי

#7 אורח - Guest

אורח - Guest
  • אורחים

פורסם 12/03/2005 - 23:15

alpha,
א. אם תקרא שוב את השאלה, תראה שאין טעם ששניים יענו, (או ידעו את צבע הכובע שלהם)
ב. משה כבר פתר למקרה של 3 כובעים.

ג.
לגבי פתרונו של משה למקרה של יותר מ-3 כובעים,
"ציפור קטנה לחשה לי", שאפשר לשפר ממש, אם יש 4 כובעים.
אם זה נכון, אז טענטו של משה אינה נכונה.

#8 אורח - THK

אורח - THK
  • אורחים

פורסם 13/03/2005 - 08:05

אפשר לשפר אם יש 7 אנשים

#9 נועם

נועם

    לא סתם ברונזה - רשום+!

  • רשומים+
  • 510 הודעות:

פורסם 13/03/2005 - 18:36

אפשר לשפר אם יש 7 אנשים

<{POST_SNAPBACK}>

ועם 15 ?? :הממ:
"פעם חשבתי שהמוח הוא הדבר הכי מופלא בעולם, עד שהבנתי מאיפה המחשבה הזאת מגיעה" -- סטיבן רייט

התער של אוקאם -- "Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem"

People grow old only by deserting their ideals. Years may"
...wrinkle the skin, but to give up interest wrinkles the soul
;You are as young as your faith, as old as your doubt
;as young as your self confidence, as old as your fear
...as young as your hope, as old as your despair
,When your heart is covered with the snows of pessimism and the ice of cynicism
then and only then are you grown old." -- Douglas McArthur

#10 אורח - משה

אורח - משה
  • אורחים

פורסם 13/03/2005 - 23:51

אני חוזר בי מתשובתי לחלק השני.

אינטואיטיבית ברור שככל שמספר השחקנים רב יותר ניתן למצוא אסטרטגיה רווחית יותר. זאת בהנחה שהשחקנים תמיד יודעים מהי התנהגות השחקנים שקדמו להם ויודעים אלו שחקנים עדיין לא שיחקו . כל שעל השחקנים הראשונים לעשות הוא לטעות בצורה מינימלית. בנוסף בכל מספר שחקנים ניתן יהיה להגיע למצב של שלוה שחקנים ע"י כך שיחליטו מראש שהשחקנים שנבחרים מוותרים על תורם עד שנותרים שלושה שחקנים שטרם שיחקו.

לגבי ארבעה שחקנים זו האסטרטגיה:

השחקן הראשון שייבחר ינחש כי כובעו שונה רק אם רואה שלושה כובעים זהים. במקרה זה תזכה החבורה ב - 80% מהמקרים (4+4/1+4+4+1). אחרת יוותר. במידה שוויתר יבינו השחקנים הבאים אחריו כי לאחד מהם כובע שונה מן השניים האחרים ואז ידעו כי רק השחקן שרואה שלשניים מחבריו שטרם שיחקו כובע בצבע זהה יכול לנחש שלראשו כובע בצבע שונה. במקרה זה ב- 100% מהמקרים יזכו. ההסתברות למצבים בחלופה הראשונה (לפחות שלושה כובעים בצבע זהה) הינה 10/16 וההסתברות להמצאות בחלופה השנייה 6/16. בסה"כ ההסתברות לזכייה (10/16*80%+ 6/16).

#11 אורח - predator

אורח - predator
  • אורחים

פורסם 16/03/2005 - 18:56

יופי ממש גאונים.חשבתם להסתכל על המראה מאחורי הדילר?
לא אבל לעשות הסתברות זה יותר פשוט
מתמטיקאים <_<

#12 אורח - Guest

אורח - Guest
  • אורחים

פורסם 22/03/2005 - 23:28

יופי ממש גאונים.חשבתם להסתכל על המראה מאחורי הדילר?
לא אבל לעשות הסתברות זה יותר פשוט
מתמטיקאים <_<

<{POST_SNAPBACK}>


הבעיה שבקזינו אין מראות. ואם כבר אז ידעתם שגם אין שעונים...... B)

#13 erezeis

erezeis

    כסף

  • רשומים+
  • 5835 הודעות:

פורסם 23/03/2005 - 19:12

הבעיה שבקזינו אין מראות. ואם כבר אז ידעתם שגם אין שעונים...... B)

<{POST_SNAPBACK}>

וגם לא חלונות... וגם לא תאורה בהירה...

#14 אורח - משה

אורח - משה
  • אורחים

פורסם 25/03/2005 - 01:16

נראה לי שטעיתי בחישוב ההסתברויות לגבי 4 שחקנים אולם האסטרטגיה נכונה.

אני חושב שזהו החישוב הנכון:

ההסתברות שהשחקן הראשון שנבחר יראה שלושה כובעים זהים הינה 2/8. ההסתברות שהשחקן הראשון שנבחר יראה כובע אחד שונה הינה 6/8. אם יראה כובע שונה יוותר על תורו ואז השחקן הבא שיראה שני כובעים זהים יצהיר כי כובעו בצבע שונה. אם השחקן הראשון רואה שלושה כובעים זהים ינחש שכובעו שונה. זאת כי רבים יותר הסיכויים להימצא במצב של בדיוק שלושה כובעים זהים (אפריורית 4/16) מאשר ארבעה זהים (2/16). סה"כ ההסתברות לרווח באסטרטגיה זו היא:3/4+ 1/4*1/4

#15 גיל אלון

גיל אלון

    מתחיל/ה להבין בדיחות פורום

  • רשומים
  • 257 הודעות:

פורסם 25/03/2005 - 04:18

רבותיי, נראה לי שאתם טועים בהבנת החידה.
כל החברים צריכים להחליט מה יגידו בלי שהם יודעים מה האחרים אמרו.
זה כמו שהם יכתבו את התשובה על שלט ויניפו את השלטים בו זמנית.

אם הם היו עונים אחד אחרי השני, אז אפשר היה לתכנן אסטרטגיה רווחית יותר, שלמשל עבור 3 שחקנים יש לה סיכוי הצלחה של 7/8:

כל שחקן, בתורו, לא יגיד כלום במקרה שלשחקנים שיבואו אחריו אין כולם את אותו הצבע.
אם לכל השחקנים אחריו יש אותו הצבע הוא יגיד את הצבע הנגדי.

אסטרטגיה זו נכשלת רק כאשר לכולם יש אותו הצבע.

נראה לי שטעיתי בחישוב ההסתברויות לגבי 4 שחקנים אולם האסטרטגיה נכונה.

אני חושב שזהו החישוב הנכון:

ההסתברות שהשחקן הראשון שנבחר יראה שלושה כובעים זהים הינה 2/8. ההסתברות שהשחקן הראשון שנבחר יראה כובע אחד שונה הינה 6/8. אם יראה כובע שונה יוותר על תורו ואז השחקן הבא שיראה שני כובעים זהים יצהיר כי כובעו בצבע שונה. אם השחקן הראשון רואה שלושה כובעים זהים ינחש שכובעו שונה. זאת כי רבים יותר הסיכויים להימצא במצב של בדיוק שלושה כובעים זהים (אפריורית 4/16) מאשר ארבעה זהים (2/16). סה"כ ההסתברות לרווח באסטרטגיה זו היא:3/4+ 1/4*1/4

<{POST_SNAPBACK}>






0 משתמשים קוראים נושא זה

0 משתמשים, 0 אורחים, 0 משתמשים אנונימיים