3 חידות מתמטיות, תודות לפותרים!! - חידות הגיון ומשחקים - פורום סטודנטים של אוניברסיטת בן-גוריון

מעבר לתוכן


- - - - -

3 חידות מתמטיות, תודות לפותרים!!


  • Please log in to reply
11 replies to this topic

#1 אורח - אורח_tom_*

אורח - אורח_tom_*
  • אורחים

פורסם 18/08/2005 - 15:41

שלום, יש לי פה 3 חידות מתמטיות שאני לא יודע. תנסו לפתור! תודה

שאלה מס' 1:
פרופ' אורון ירד באיטיות במורד המדרגות הנעות (דרגנוע) וספר 50 מדרגות עד שהגיע
לתחתית. אח"כ הוא רץ במעלה אותן מדרגות נעות והגיע לקצה העליון אחרי 125 מדרגות
(כשהוא עולה מדרגה, מדרגה).
אם נניח שהפרופ' נע פי 5 מהר בעליה, מכפי שנע בירידה (כלומר על כל מדרגה בירידה
עשה 5 בעליה), ובנוסף, נניח שכל מסלול נעשה במהירות קבועה, כמה מדרגות יראה המסתכל
מן הצד, כאשר המדרגות הנעות מפסיקות לזוז?

שאלה מס' 2:
1000 נורות מסודרות במסדרון ארוך אליו נכנסים במהלך הלילה בזה אחר זה 1000 גמדים.
הגמד הראשון מדליק את כל הנורות, הגמד השני מכבה כל נורה שניה. הגמד השלישי משנה את
המתג (מכבה אם דלוק ומדליק אם כבוי) של כל נורה שלישית. הגמד הרביעי משנה את המתג של כל נורה רביעית, וכך הלאה עד שעוברים כל הגמדים.
האם תשארנה נורות דולקות בסוף הלילה? אם כן, איזה נורות?
צרפו הסבר מתמטי לפתרון.

שאלה מס' 3:
אתם משתתפים בתוכנית טלויזיה. המנחה מציג לכם שלוש דלתות סגורות, ומכריז כי מאחורי אחת מהם מסתתרים מליון דולר. הוא מבקש מכם לבחור באחת הדלתות, אם תבחרו בדלת שמאחוריה מליון הדולר תזכו בהם. לאחר שבחרתם ואמרתם למנחה איזה דלת בחרתם, הוא מורה לפתוח את אחת הדלתות הנותרות, ומראה לכם שמאחוריה אין מליון דולר. כעת הוא מציע לכם להחליף את בחירתכם ולהמר על הדלת השניה. האם תהמרו? בחינה מתמטית של הבעיה מראה שתמיד כדאי להחליף את הבחירה. מצאו הסבר למה.

תודה רבה!!

#2 מוסה מדוסה

מוסה מדוסה

    מתחיל/ה להבין בדיחות פורום

  • רשומים
  • 279 הודעות:

פורסם 18/08/2005 - 16:38

1)

בו נתאר גרם מדרגות אחר: בגרם המדרגות החדש שייצר פרופסור יוסף במיוחד בשביל פרופסור אורן, בזמן שאני עולה, מתווספות למעלה מדרגות באיזשהו קצב קבוע וכשאני יורד בהן נעלמות באותו קצב קבוע בתחתית הגרם מדרגות.(לצורך השאלה יכול להיות שהתוספת היא שלילית)
עכשיו, צריך להבין למה כדי להגיע לקצה גרם המדרגות החדש ייקח לי בדיוק אותו הזמן שהיה לוקח לי בדרגנוע. זה משום שבעצם דרגנוע עובד בדיוק על הטריק שציינתי: מדרגה למטה נעלמת ומדרגה למעלה מופיע, מה שנעלם מאחוריי, לא משנה לי, כל מה שמשנה הוא כמה מדרגות נשארו לי.
לכן כשאני יורד בדרגנוע, כל מדרגה שנעלמת היא מדרגה אחת פחות שאני צריך לרדת (במציאות, אני מתקדם קדימה אבל בעצם אפשר גם להגיד שבקצב שהתקדמתי "חסכתי" לי מדרגה) וכשאני עולה בדרגנוע אז מתווספות לי מדרגות באיזשהו קצב קבוע.

עכשיו נאמר שבזמן שלפרופסור אורן לוקח לעלות מדרגה אחת, פרופסור יוסף הרשע מוסיף q מדרגות (q חייב להיות שבר, כי אם על כל מדרגה שאורן עולה, יוסף מוסיף שתיים אז אורן המסכן לעולם לא יסיים)
ונגיד שיש Y מדרגות בהתחלה
אז בזמן שפרופסור אורן עלה Y מדרגות נוספו Y*q מדרגות, אחרי שאורן יעלה עוד Y*q מדרגות יתווספו: Y*q*q מדרגות וכן הלאה: זאת אומרת שאורן יעלה טור אינסופי של Y כפול סידרה הנדסית של q
אז על פי נוסחא:
1+q+q^2+q^3+...=1/(1-q)
Y+Y*q+Y*q^2+...=Y*(1/(1-q))
1/(1-q)=125/Y
1-q=Y/125
q=1-Y/125
וכשהוא יורד? בזמן שהוא יורד נעלמות כל פעם רק חמישית כמות המדרגות:
משמע כשהוא מסיים Y מדרגות נוספות Y*q/5 מדרגות וכן הלאה: וזהו טור הנדסי חדש לגמרי:
1/(1+ q/5)=50/Y
q/5=-1+Y/50
q=Y/10-5
1-Y/125=-5+Y/10
Y(1/10+1/125)=6
55.5 מדרגות

2)
http://forum.bgu.co....topic=34435&hl=

הסיבה שזו התשובה:

כל מספר אפשר להציג כמכפילה של ראשוניים:
מספר שהוא שורש של מספר אחר הוא מספר שכל מספר ראשוני שלו מופיע בחזקה זוגית: כי אז בעצם אפשר להוציא 2 גורם משותף מכל החזקות ולמצוא את השורש, לדוגמא:

36=4*9=2^2*3^2=(2*3)^2

צריך להסתכל כמה פעמים נורה נכבית ונדלקת: נורה נכבת ונדלקת כמספר המספרים שהיא מחלקת, מספר שהיא מחלקת הוא כל צירוף קומבינטורי של הגורמים שמחלקים אותה, כל גורם יכול להופיע בריבוי בהתאם לחזקה שלו כשכל גורם יכול גם לא להופיע (חזקה אפס) לכן כל מספר מתחלק במכפילה של הגורמים בריבוי המתאים, כדי שהמספר הזה יהיה אי זוגי, על כל החזקות להופיע מספר זוגי:

למשל: 12 יהיה כבוי כי 12 מתחלק ב2 פעמיים וב3 פעם אחת לכן הוא מתחלק ב3*2 מספרים (6)
2^0*3^0=1
2^1*3^0=2
2^2*3^0=4
2^0*3^1=3
2^1*3^1=6
2^2*3^1=12
לעומת זאת: 36 מתחלק ב2 פעמיים וב3 פעמיים לכן הוא מתחלק ב3*3 מספרים (9)

2^0*3^0=1
2^1*3^0=2
2^2*3^0=4
2^0*3^1=3
2^1*3^1=6
2^2*3^1=12
2^0*3^2=9
2^1*3^2=18
2^2*3^2=36

3)
לא רק מבחינה מתמטית, אלא גם מבחינה מעשית: כדאי לעבור דלתות...
ההסבר הפורמלי דורש הכרה של מושגים שלא יצליחו להסביר לך באופן אינטואיטיבי למה זה נכון: אבל הנה נימוק פשוט שיתן לך את האינטואיציה:

בפעם הראשונה שבחרת וילון רוב הסיכויים שטעית, כשהבחור פתח את הוילון העובדה הזו לא השתנתה עדיין רוב הסיכויים שטעית. למה? הרי נראה כאילו ברגע שהוא פתח את הוילון והראה לך שאין מאחוריו כלום אז הוא חיזק את העובדה שצדקת... אבל הוא לא, משום שברור שמאחורי אחד הוילונות שלא בחרת, לא הייתה מכונית: כל מה שהבחור עם הוילון עשה הוא להצביע לך באופן מדויק איפה המכונית לא הייתה, כשבחרת, אבל גם ככה ידעת שמאחורי אחד הוילונות שלא בחרת אין מכונית.
בעצם בפעם השנייה שאתה בוחר וילון, זה בעצם שקול לכך שהמגיש יישאל אותך "האם אתה מהמר שצדקת בפעם הראשונה או טעית בפעם הראשונה" רק שבמקום לשאול אותך באופן מפורש הוא אומר לך "שמע, אם טעית אז הוילון הנכון הוא הוילון הזה, האם אתה חושב שטעית או שצדקת"

#3 absinth

absinth

    להתראות ותודה על הדגים

  • רשומים+
  • 6016 הודעות:

פורסם 23/08/2005 - 04:54

1)

בו נתאר גרם ...

... האם אתה חושב שטעית או שצדקת"

<{POST_SNAPBACK}>


כל הכבוד על ההשקעה
Absinth - The Green Fairy

(והמבין יבין)


Every time someone says they don't believe in
fairies, another fairy gets kicked in the balls


פורום ריינבו - כי העולם יותר צבעוני משנדמה לכם

טוסט לאבסינת'!!!!!


"תם הטקס..."

#4 שועל במנוסה

שועל במנוסה

    כסף

  • רשומים+
  • 1854 הודעות:

פורסם 24/08/2005 - 18:20

:punk:

יישר כוח
זה בכלל לא כלב, זה שועל!!!

FriendsFanatic י(5/9/05 , 1:55): (לשם הרקורד- אני לא חושבת ששועל פיקטיבי)

פוקה (7/8/05 , 23:13): שועל, אם זה עוזר לך, אני מאמינה לך שאתה לא פקטיבי. כדאי שגם אתה תתחיל להאמין בעצמך

Lilush י(7/8/05 , 23:41): שועלון - אני מזמן מאמינה שאתה לא פיקטיבי! :lol:
(אפילו כתבתי לך כמה פעמים בפורום שאני מאמינה, אבל אתה התעלמת)



קישור - כל מה שהסתירו ממכם לגבי קווים מקבילים

#5 אורח - אורח_-עידו_*

אורח - אורח_-עידו_*
  • אורחים

פורסם 25/08/2005 - 23:24

לי יש פיתרון אחר ממוסה. כרגע קצת כבד עלי להסביר איפה אני לא מסכים איתו.

הפיתרון שלי:
נניח שהפרופסור ירד במדרגות ב-T שניות. אזי קצב הירידה שלו הוא 50 חלקי T מדרגות לשניה. מכיוון שקצב העלייה הוא פי 5 יותר, הרי שהוא 250 חלקי T. ואם כמות המדרגות שהוא עבר בזמן זה היא 125, הרי שזמן זה הוא T חלקי 2. (בזמן T הוא יעבור 250 מדרגות).
כמובן שקצב ההעלמות המדרגות וקצב הופעתן זהה, ובזה אני מסכים עם הדימוי של מוסה.
עכשיו ניתן להתעלם מהפרופסור ולנסח שאלה קלה יותר- אם כמות המדרגות שנשארה לאחר העלמות מדרגות בזמן T היא 50, וכמות המדרגות שהצטברה לאחר הוספת מדרגות בזמן T חלקי 2 היא 125, מה כמות המדרגות הראשונית. ובנוסחה נקבל, אם נציב X כמות המדרגות הראשונית, וגם Y כמות המדרגות הנעלמת בזמן T (ולכן X חלקי 2 כמות המדרגות הנוספת בזמן T חלקי 2):
50=X-Y
125=X+Y\2

מפתרון משוואות אלו מתקבל Y=50 X=100. לכן כמות המדרגות ההתחלתית היא 100.

#6 אורח - אורח_-עידו_*

אורח - אורח_-עידו_*
  • אורחים

פורסם 26/08/2005 - 00:00

ואחרי טיול עם הכלבה...
הטעות היחידה של מוסה היא שכאשר הוא יורד במדרגות, קצב ההעלמות שלהן לא קטן פי חמש אלה גדל פי חמש. מכיוון שהוא עולה פי חמש יותר מהר- הוא מסיים לעלות Y מדרגות בחמישית הזמן שהוא היה יורד אותן, ולכן כמות המדרגות שנוספות קטנה פי חמש מכמות המדרגות שייעלמו שהוא יירד.
אם במשוואות יוצב במקום Q חלקי 5 5Q, אזי התשובה תצא זהה לשלי.

בכל מקרה אני מעדיף את הדרך שלי (המנעות מטורים אינסופיים מקטינה את הסיכוי למות מעצבים....)

#7 אורח - Musa From Montreal

אורח - Musa From Montreal
  • אורחים

פורסם 01/09/2005 - 01:08

I'm sorry but i still believe that it is q/5... since he's going down the stairs faster then the number of stairs the are taken is less (cause it takes less time then there is less time for the stairs to disappear)





and in your answer: I believe that the rhythem of going up should be five times slower and not five time faster: so going up should take 10 stairs per T and not 125 stairs per T


#8 גיל אלון

גיל אלון

    מתחיל/ה להבין בדיחות פורום

  • רשומים
  • 257 הודעות:

פורסם 01/09/2005 - 03:21

מוסה, אתה במונטריאול? איזה עולם קטן!

#9 אורח - אורח_עידו_*

אורח - אורח_עידו_*
  • אורחים

פורסם 02/09/2005 - 11:09

I'm sorry but i still believe that it is q/5... since he's going down the stairs faster then the number of stairs the are taken is less (cause it takes less time then there is less time for the stairs to disappear)
and in your answer: I believe that the rhythem of going up should be five times slower and not five time faster: so going up should take 10 stairs per T and not 125 stairs per T

<{POST_SNAPBACK}>




שלום, יש לי פה 3 חידות מתמטיות שאני לא יודע. תנסו לפתור! תודה

שאלה מס' 1:
פרופ' אורון ירד באיטיות במורד המדרגות הנעות (דרגנוע) וספר 50 מדרגות עד שהגיע
לתחתית. אח"כ הוא רץ במעלה אותן מדרגות נעות והגיע לקצה העליון אחרי 125 מדרגות
(כשהוא עולה מדרגה, מדרגה).
אם נניח שהפרופ' נע פי 5 מהר בעליה, מכפי שנע בירידה (כלומר על כל מדרגה בירידה
עשה 5 בעליה), ובנוסף, נניח שכל מסלול נעשה במהירות קבועה, כמה מדרגות יראה המסתכל
מן הצד, כאשר המדרגות הנעות מפסיקות לזוז?

<{POST_SNAPBACK}>




אני מסכים שתאורטית עלייה צריכה להיות איטית מירידה, אבל הנתונים של השאלה אומרים שהעלייה יותר מהירה.

#10 אורח - Musa From Boston

אורח - Musa From Boston
  • אורחים

פורסם 02/09/2005 - 23:51

yes, you're right: I automatically assumed that he is slower going up and didn't read the question properly



. My mistake.


#11 wodahs

wodahs

    משתמש באימונים

  • רשומים
  • 67 הודעות:

פורסם 05/10/2005 - 14:02

ההסבר לשאלה השניה הוא פשוט יותר :
כל מספר שמתחלק במספר כלשהו גם מתחלק בבן זוג שלו(המחלק השני) כלומר 32 מתחלק ב 8 וגם ב 4
לכן יוצא שלכל מספר יש מספר זוגי של מחלקים(אפילו מספר ראשוני - 7 מתחלק ב 7 וב 1), כלל הדואליות מופר כאשר הבן זוג הוא זהה, כלומר כאשר המחלק הוא גם השורש של המספר. במקרה זה מספר המחלקים הופך לאי זוגי ולכן רק מספרי נורות שלהם שורש שלם הן אשר תישארנה דלוקות.

#12 אורח - עמנואל

אורח - עמנואל
  • אורחים

פורסם 14/04/2015 - 14:46

חידה:

גדוד צבאי עם מספר תלת מספרי של חיילים. כאשר נסדר את החיילים ב6 שורות נותר חייל בודד

כך גם כשמסדרים ב7 שורות 8 או 9.

כמה חיילים?






0 משתמשים קוראים נושא זה

0 משתמשים, 0 אורחים, 0 משתמשים אנונימיים